Quando trabalhamos com certas lógicas e softwares no programa, utilizamos uma série de algoritmos e fórmulas matemáticas, uma muito importante nesse meio é a que resolve o sistema linear. A partir disso, temos diversas soluções que foram construídas durante os anos para resolver esse tipo de equação.
Sabemos que o sistema linear é escalável e pode conter uma infinidade de variáveis e equações, nem sempre utilizar a mesma técnica é eficaz, ou seja, não é porque você consegue resolver alguns sistemas lineares mais simples, que você conseguirá resolver os mais complexos.
Dentre os métodos disponíveis, temos o de adição, substituição e igualdade para solucionar os sistemas que tem apenas duas variáveis e duas equações. Para um sistema com mais desses requisitos, é aconselhável a utilização das regras do escalonamento e Crammer.
Confira os tópicos que vamos abordar:
- O que é sistema linear?
- O que é uma equação linear?
- Matrizes de um sistema linear
- Quais os determinantes de um sistema linear?
- Quais os tipos de sistemas lineares?
- Como descobrir se um sistema linear tem solução?
- Solução do sistema linear com duas equações do 1º grau e duas incógnitas!
- Solução do sistema linear com três equações do 1º grau e três incógnitas!
- 4 exercícios de sistemas lineares resolvidos!
O que é sistema linear?
No sistema linear, a partir de uma equação de primeiro grau, podemos ter dois ou mais conjuntos suportando um número infinito de variáveis
Nesse sistema, as operações são apresentadas uma em cima da outra, com uma do lado esquerdo. Este é o símbolo utilizado para sinalizar que eles fazem parte de um mesmo grupo. Ao decorrer do texto veremos alguns exemplos.
Pois isso, um sistema linear m × n pode ser representado por um sistema com m equações lineares e n incógnitas.
Essa também é a forma com que representamos as matrizes. Dessa maneira, é possível traduzir as informações do sistema para uma matriz e, a partir disso, calcular o determinante que tem muitas informações importantes.
O que é uma equação linear?
Antes de nos aprofundarmos com o estudo dos sistemas lineares, devemos compreender o que é uma equação linear.
Basicamente, uma equação linear é qualquer equação no seguinte formato: a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b onde a1, a2, a3, …, an, são números reais e b é um termo independente. Caso b seja igual a 0, a equação é chamada de linear homogênea.
Exemplo de equação linear: 2x1 + 5x2 – x3 + 3x4 = -2
Matrizes de um sistema linear
Conseguimos obter dois tipos de matrizes formadas a partir de um sistema de equações lineares. Com o próximo sistema construiremos dois:
Matriz incompleta
Nesse caso, a matriz é formada apenas pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
Matriz completa
Nesse outro caso, a matriz é formada tanto pelos coeficientes das incógnitas quanto pelos termos isolados do sistema (que no caso não acompanham nenhuma incógnita).
Quais os determinantes de um sistema linear?
Dê uma olhada no seguinte sistema de equações:
Determinante principal
Para definirmos a determinante principal de um sistema linear, é preciso encontrar os coeficientes das incógnitas do sistema. Ou seja, para o sistema acima temos a determinante principal a seguir:
Determinante secundário
Para calcular os determinantes secundários, devemos pegar a matriz do determinante principal e trocar os valores das colunas das respectivas incógnitas pelos valores dos termos isolados. Dessa maneira, temos os seguintes determinantes secundários:
Com as cores destacadas em rosa, temos os números que foram trocados para obtermos a determinante secundária.
Quais os tipos de sistemas lineares?
A partir das determinantes que podemos calcular nos sistemas lineares, conseguimos classificá-los de uma maneira bem simples.
Sistema possível determinado (SPD)
No SPD conseguimos ter uma solução do sistema. Basicamente, o DP (determinante principal) deve ser diferente de 0.
Sistema possível indeterminado (SPI)
No SPI obtemos infinitas soluções para um sistema. Sendo assim, tanto a DP quanto a determinante secundário devem ser iguais a 0.
Sistema impossível (SI)
Por último, o SI descreve um sistema impossível de ser solucionado. Aqui, no mínimo uma determinante secundária deve ser diferente de 0 e a DP pode possuir o valor de 0.
Como descobrir se um sistema linear tem solução?
Devemos começar calculando as determinantes principais e secundários, para isso vamos ver um exemplo:
Dada essa equação temos a seguinte determinante principal:
E as seguintes determinantes secundárias:
Calculando a determinante das matrizes, temos o resultado a seguir:
- Determinante principal: −19
- Primeira determinante secundária: -38
- Segunda determinante secundária: -19
- Terceira determinante secundária: 38
Nesse caso, como a determinante principal é diferente de 0 e as determinantes secundárias não são iguais a 0, temos um SPD (Sistema possível determinado).
Solução do sistema linear com duas equações do 1º grau e duas incógnitas!
Em sistemas com duas variáveis e duas equações existem algumas maneiras de solucioná-los. Sendo as mais conhecidas:
- método da comparação
- método da adição
- método da substituição
A partir desses métodos conseguimos solucionar esse tipo de sistema linear.
Já para outros tipos de sistemas que possuem mais conjuntos, os métodos acima não são eficazes, logo devemos utilizar outras formas.
Método de substituição: o passo a passo!
Aqui fazemos o isolamento com uma variável na primeira equação e logo em seguida a substituição para a segunda equação.
Exemplo
1º Passo
Isolar uma das incógnitas.
Chamaremos de I a primeira equação e de II a segunda equação. Analisando as duas, vamos escolher a incógnita que esteja mais fácil de ser isolada. Reescrevemos a equação II desta forma:
2º Passo
Substituir I em II.
Agora que temos a equação II com o x isolado, na equação I, podemos substituir x por 18 – 4y.
Agora com apenas uma incógnita, é possível resolvê-la para encontrar o valor de y.
Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x realizando a substituição do valor de y na equação II.
Dessa forma, a solução do sistema é S = {0, 9/2}.
Método da adição: o passo a passo!
Com o método de adição, temos que realizar a multiplicação de todos os termos de uma das equações, de forma que, ao executarmos a soma da equação I na equação II, uma de suas incógnitas deve ficar igual a zero.
Exemplo
1º Passo
Multiplicar uma das equações para que os coeficientes fiquem opostos.
Repare que, se multiplicarmos a equação II por 2, teremos os 4x na equação II e -4x na equação I, e que, ao somarmos I + II, teremos 0x, logo, podemos multiplicar todos os termos da equação II por 2 para que isso aconteça.
2º Passo
Realizar a soma I + 2 * II
3º Passo
Substituir o valor de y = 3 em uma das equações.
Método da comparação: o passo a passo!
Neste último método precisamos fazer o isolamento de uma incógnita nas duas equações e igualar os valores.
Exemplo
1º Passo
Seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhemos isolar a incógnita y, ficando desse jeito:
2º passo
igualamos as duas novas equações, já que y = y.
3º Passo
Substituiremos o valor de x por -2 em uma das equações.
Sendo assim, a solução desse sistema é o conjunto S = {-2, 2}.
Solução do sistema linear com três equações do 1º grau e três incógnitas!
Quando temos um sistema com três incógnitas, utilizamos outros métodos para a solução. Todas essas formas relacionam os coeficientes com matrizes, e os métodos mais utilizados são a regra de Crammer ou o escalonamento.
Para a resolução dos dois métodos, precisamos fazer a representação matricial do sistema. Há duas possíveis representações, a matriz completa e a matriz incompleta:
Exemplo:
O sistema
Pode ser representado pela matriz completa
E pela matriz incompleta
Regra de Crammer
Utilizamos a regra de Crammer quando precisamos solucionar sistemas 3×3, com incógnitas x, y e z. Nesse caso, precisamos calcular as determinantes da matriz incompleta e suas variações. Temos então que:
Onde:
- D: Determinante incompleta do sistema.
- Dx: Determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de x pela coluna dos termos independentes.
- Dy: Determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de y pela coluna dos termos independentes.
- Dz: Determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de z pela coluna dos termos independentes.
A partir disso, devemos calcular a determinante de D, Dx e Dy para encontrar o valor das incógnitas.
Exemplo
1º Passo
Calcularemos D.
2º Passo
Calculamos Dx.
3º Passo
Conseguimos encontrar o valor de X, a partir da sua determinante.
4º Passo
Calculamos Dy.
5º Passo
Dessa forma podemos calcular a variável y.
6º Passo
Agora que sabemos os valores de x e y, em qualquer uma das linhas podemos encontrar o valor de z substituindo o valor de x e y e isolando o z. Outra opção seria calcular o Dz.
Dado que x é -6/-5 e y é 1, temos:
Com isso, a solução do sistema é a terna (-6/-5, 1, 11/-5).
Escalonamento
Outra forma de resolver sistemas lineares é com o escalonamento. Nele, usamos somente a matriz completa e operações entre as linhas com o objetivo de isolar as suas incógnitas.
A seguir escalonaremos o sistema linear.
1º Passo
Escrevemos a matriz completa que representa o sistema.
Temos L1, L2 e L3 que são respectivamente as linhas 1, 2 e 3 da matriz. Vamos fazer algumas operações entre L1 e L2 e L1 e L3, de uma forma que o resultado faça com que os termos que estão na primeira coluna da segunda e da terceira linhas fiquem iguais a zero.
Verificando a segunda linha da matriz, vamos mudá-la pelo resultado de L2 → -2 · L1 + L2, para que zeramos o termo a21.
Temos que L2 é 0 -3 7 -17.
Olhando a terceira linha da matriz, podemos substituí-la pelo resultado de L3 → 3L1 + L2, com o objetivo de zerar o termo a31.
Com isso, L3 será 0 8 -8 24.
Observe que todos são divisíveis por 8, portanto, para que a linha L3 fique mais simplificada, vamos dividi-la por 8.
L3 → L3 : 8 agora é: 0 1 -1 3.
Assim a nova matriz da equação escalonada será:
Agora temos que zerar a coluna y na terceira linha. Faremos as operações entre a L2 e L3, com o objetivo de zerar a segunda coluna de uma delas.
Substituiremos a L3 por L3 → L2 + 3L3.
Então L3 fica: 0 0 4 -8.
A nova matriz escalonada será:
Nesse momento, ao retratarmos essa matriz como um sistema novamente, adicionando x, y e z nas colunas, temos o seguinte resultado:
Conseguimos agora encontrar o valor de cada uma das incógnitas. Analisando a equação III, temos que:
Se z = -2, vamos substituir o valor de z na segunda equação:
Por último, na primeira equação substituiremos o valor de y e z.
4 exercícios de sistemas lineares resolvidos!
1º Exercício
Resolva o sistema a seguir pela regra de Cramer.
Vamos calcular a determinante principal e as determinantes de x, y, z.
Depois disso basta substituir nas equações para recuperarmos os valores das incógnitas.
Dessa maneira, temos um sistema S = {0,0,0}
2º Exercício
Qual a solução do sistema a seguir:
Novamente utilizaremos a regra de Crammer.
Com os valores determinantes, precisamos apenas calcular as incógnitas.
Com isso, obtemos um sistema S = {-½, 0, 3/2}.
3º Exercício
Usando o escalonamento, resolva a equação a seguir:
Utilizando escalonamento para resolver o sistema, temos os seguintes passos:
Portanto, a solução do sistema é: S = {⅕, 7, 38/5}
4º Exercício
Resolva mais este sistema utilizando a regra de Crammer.
Primeiro, calculamos as suas determinantes:
Dessa forma podemos descobrir os valores das variáveis.
Temos então o sistema S = {x = -9/7, y = 11/3, z = 53/21}
Ao estudarmos sistemas lineares podemos não perceber o quão eles são importantes. Um exemplo muito concreto é o GPS que utilizamos no dia-a-dia seja no Google Maps ou em algum outro aplicativo.
Além disso, ao estudarmos um pouco essa área, percebemos que estamos praticamente repetindo algumas sequências de cálculos, dessa maneira podemos imaginar que os métodos que apresentamos são pseudocódigos, no qual se transformam em resultados concretos.
Para resolver um sistema linear, temos a possibilidade de escolher entre resolver no papel e caneta, em algum aplicativo que automatiza os cálculos, como o Excel, ou até quem sabe criar algum programa na web que resolve dinamicamente as equações que o usuário coloca no input.
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